带或不带杀死的亚临界分支随机游走的最大位移

考虑一个具有后代分布 $\{p_k\}_{k\geq 0}$ 和步长 $X$ 的亚临界分支随机游走 $\{Z_k\}_{k\geq 0}$。令 $M_n$ 表示 $\{Z_k\}_{k\geq 0}$ 到第 $n$ 代为止到达的最右位置，并定义 $M := \sup_{n\geq 0} M_n$。在本文中，我们在最优假设 $\sum^{\infty}_{k=1}(k\log k) p_k<\infty$ 和 $\mathbb{E}[Xe^{\gamma X}]<\infty$ 下给出了 $M$ 的尾部概率渐近式，其中 $\gamma >0$ 是一个常数，使得 $\mathbb{E}[e^{\gamma X}]=\frac{1}{m}$ 且 $m=\sum_{k=0}^\infty kp_k\in (0,1)$。此外，我们通过证明临界值 $m\mathbb{E}[X e^{\gamma X}]$ 的存在性，证实了 Neuman 和 Zheng [Probab. Theory Related Fields. 167 (2017) 1137--1164] 的猜想，使得 \begin{align*} \lim_{n\to\infty}e^{\gamma cn}\mathbb{P}(M_n\geq cn)= \left\{ \begin{aligned} &\kappa \in(0,1], &c\in\big(0,m\mathbb{E}[Xe^{\gamma X}]\big); \ &0, &c\in\big(m\mathbb{E}[Xe^{\gamma X}],\infty\big), \end{aligned} \right. \end{align*} 其中 $\kappa$ 表示非零极限。最后，我们将这些结果扩展到带杀死的分支随机游走的最大位移。有趣的是，这个极限可以通过具有正漂移的随机游走的全局最小值和不带杀死的分支随机游走的最大位移来刻画。