d维超临界分支随机游走范围的Large Deviation概率

设$\{Z_n\}_{n\geq 0 }$为始于原点的$d$维超临界分支随机游走。记$Z_n(S)$为时刻$n$位于集合$S\subset\mathbb{R}^d$中的粒子数。记$R_n:=\inf\{\rho:Z_i(\{|x|\geq \rho\})=0,\forall~0\leq i\leq n\}$为$\{Z_n\}_{n\geq 0 }$在时刻$n$前的范围。本文在一些温和条件下证明当$n\to\infty$时$R_n/n$依概率收敛于某正常数$x^*$。进一步,我们研究其相应的下偏差与上偏差概率,即$$\mathbb{P}(R_n\leq xn)~\text{for}~x\in(0,x^*);~\mathbb{P}(R_n\geq xn) ~\text{for}~ x\in(x^*,\infty)$$当$n\to\infty$时的衰减速率。作为副产品,我们确认了Engl\"{a}nder \cite{Englander04}的一个猜想。