超临界超布朗运动范围的上偏差概率

设$\{X_t\}_{t\geq 0 }$是从原点出发、分支机制为$\psi$的$d$维超临界超布朗运动。记$R_t:=\inf\{r>0:X_s(\{x\in \mathbb{R}^d:|x|\geq r\})=0,~\forall~0\leq s\leq t\}$为包含$\{X_s\}_{s\geq 0 }$到时间$t$为止的范围的最小球（以原点为中心）的半径。在\cite{Pinsky}中，Pinsky证明了在非灭绝条件下，$\lim_{t\to\infty}R_t/t=\sqrt{2\beta}$依概率成立，其中$\beta:=-\psi'(0)$。随后，Engl"{a}nder \cite{Englander04}研究了$R_t$的下偏差概率。对于上偏差概率，他在\cite[猜想8]{Englander04}中猜想：对于$\rho>\sqrt {2\beta}$，有$$\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\log\mathbb{P}(R_t\geq \rho t)=-\left(\frac{\rho^2}{2}-\beta\right).$$ 本文证实了这一猜想。