分支布朗运动一致最大位移的相变

考虑分支布朗运动:我们从原点开始一个粒子,粒子独立按照布朗运动运动,以速率为一进行分裂为两个。众所周知,时间 $t$ 时最右侧的粒子将接近 $\sqrt{2} t$。罗伯茨考察了所谓的一致最大位移,并表明以高概率,在 $[0, t]$ 的所有 $s$ 上,存在一个粒子，其祖先在距离曲线 $s \mapsto \sqrt{2} s$ 以内 $ct^{1/3}$ 的范围内。其中 $c = (3 \pi^2)^{1/3}/\sqrt{2}$。我们考察问题:粒子轨迹如何才能在 $[0, t]$ 的所有 $s$ 上靠近曲线 $s \mapsto (\sqrt{2} + \varepsilon) s$,其中 $\varepsilon> 0$ 为小值。我们发现存在相变,当 $t$ 达到 $\varepsilon^{-3/2}$ 量级时,行为发生变化。此结果允许我们确定,对于具有左侧漂移 $\sqrt{2} + \varepsilon$ 且在原点被消灭的分支布朗运动,粒子需在时间为零时开始的位移位置,以高概率避免直到时间 $t$ 的消亡。