随机环境下临界分支随机游动的最大位移问题

本文研究了随机环境下临界分支随机游走的最大位移问题。设 $M_n$ 为第 $n$ 代粒子的最大位移，$Z_n$ 为第 $n$ 代的总种群，$M$ 为分支随机游走最终到达的最右端点。在一些合理条件下，我们证明了条件极限定理：\n\begin{equation*} \mathcal{L}\left( \dfrac{M_n}{\sqrt{\sigma} n^{\frac{3}{4}}} |Z_n>0\right) \dcon \mathcal{L}\left(A_\Lambda\right), \end{equation*}其中随机变量 $A_\Lambda$ 与标准布朗游走相关。此外，存在正数常数 $C_1$ 和 $C_2$，使得：\n\begin{equation*} C_1\leqslant\liminf\limits_{x\rightarrow\infty}x^{\frac{2}{3}}\P(M>x) \leqslant \limsup\limits_{x\rightarrow\infty} x^{\frac{2}{3}}\P(M>x) \leqslant C_2. \end{equation*}与常数环境情况（Lalley 和 Shao (2015)）相比，我们发现随机环境下 $M_n$ 的条件极限速度（即 $n^{\frac{3}{4}}$）显著大于常数环境情况（即 $n^{\frac{1}{2}}$），而且 $M$ 的尾概率（即 $x^{-\frac{2}{3}}$ 与 $x^{-2}$）亦如此。我们的方法基于随机环境下简化后的临界分支随机游走的路径大偏差。