一般线性群上分支随机游走的极值位置

考虑有限维空间 $V$ 的一般线性群 $\textrm{GL}(V)$ 上的分支随机游走 $(G_u)_{u\in \mathbb T}$，其中 $\mathbb T$ 是带有节点 $u$ 的相应家谱树。对任意起点 $v \in V \setminus\{0\}$ 满足 $\|v\|=1$ 以及 $x = \mathbb R v \in \mathbb P(V)$，令 $M^x_n=\max_{|u| = n} \log \| G_u v \|$ 表示第 $n$ 代中游走 $\log \| G_u v \|$ 的最大位置。我们首先证明在适当条件下，$\lim_{n \to \infty} \frac{M_n^x }{n} = \gamma$ 几乎必然成立，其中 $\gamma \in \mathbb R$ 为常数。接着，在 $\gamma = 0$ 的情形下，在适当的边界条件下，我们通过确定 $M_n^x$ 收敛到 $-\infty$ 的收敛速率来改进上述结论。我们特别证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{M_n^x}{\log n} = -\frac{3}{2\alpha}$ 依概率成立，其中 $\alpha >0$ 是由边界条件决定的常数。对最小位置也建立了类似性质。作为推论，我们导出了 $G_u$ 的系数、算子范数与谱半径的极大和极小位置的渐近速度。