树上偏置随机游走的最大势能

已知超临界 Galton--Watson 树上的偏置随机游走在慢速区表现出多尺度现象：游走前 $n$ 步的最大位移量级为 $(\log n)^3$，而第 $n$ 步的典型位移量级为 $(\log n)^2$。我们的主要结果揭示了偏置游走的另一个多尺度性质：偏置游走的最大势能量级为 $(\log n)^2$，而其典型大小的量级为 $\log n$。证明依赖于对势能复杂多尺度结构的分析。