重尾 Galton-Watson 树合并结构的普适类

考虑一个按临界连续时间 Galton-Watson (GW) 树演化的种群。在种群存活至大时间 $T$ 的条件下，从时间 $T$ 存活的个体中均匀随机（不放回）抽取 $k$ 个个体。这组样本个体的谱系是什么？在子代分布具有有限方差的情况下，这 $k$ 个粒子联合祖先的概率性质已得到很好的理解，如 \cite{HJR20, J19} 所示。在本文中，我们研究在以下机制下 $k$ 个粒子样本的联合祖先：子代分布均值为 $1$（临界），且子代分布的尾部是 \emph{重尾}的，即 $\alpha \in (1,2]$ 是使得 $\beta^{\text{th}}$ 阶矩有限的指标 $\beta$ 的上确界。我们证明，对于每个 $\alpha$，在通过 $1/T$ 重新缩放时间后，存在一个普适的随机过程来描述 $k$ 个不同粒子的联合合并结构。特例 $\alpha = 2$ 推广了从具有有限方差的临界 GW 树中抽样的已知情况，其中仅观察到成对合并，且谱系树大致上是某种时间变换的 Kingman 合并过程的混合。$\alpha \in (1,2)$ 的情况引入了新的普适极限划分值随机过程，这些过程具有有趣的概率结构，其表示与 Lauricella 函数和 Dirichlet 分布相关，并且其合并结构表现出家族谱系的多重合并。此外，在 $\alpha \in (1,2)$ 的情况下，我们证明 $k$ 个粒子祖先的合并事件与产生与整个种群规模同阶的巨量子代的出生事件相关联，并计算了祖先与这些巨大出生规模大小的联合分布。