拟自由群及其他树状图的临界渗流

本文提出了一种方法，用于求解具有所谓树状结构的图上的 Bernoulli 键渗流的临界概率 $p_c$。此类图可分解为若干部分的树，其中每一部分仅有有限多个同构类。这类图包括 amalgamated products、HNN 扩张或作用在树上的一般群的 Cayley 图。它还包括所有具有多于一个端的传递图。该方法的思想是寻找一个多类型 Galton--Watson 分支过程（带有参数 $p$），其期望种群大小有限当且仅当期望渗流簇大小有限。这提供了关于 $p_c$ 的充分信息。特别地，如果各部分的两两交集是有限的，则 $p_c$ 是使得 $\operatorname {det}(M-1)=0$ 的最小正数 $p$，其中 $M$ 是该分支过程的一阶矩矩阵。如果树状结构的各部分是有限的，则 $p_c$ 是一个代数数，并且我们给出了一个算法，将 $p_c$ 计算为某个代数函数的根。我们证明了任何拟自由群（即具有有限顶点稳定子的作用在树上的群）关于任何有限生成集的 Cayley 图都具有具有有限部分的树状结构。特别地，我们展示了如何计算自由群关于任何有限生成集的 Cayley 图的 $p_c$。