群的自由积的临界渗流

本文研究群的自由积的 Cayley 图上的渗流。自由积 $G_1*G_2*...*G_n$ 的临界概率 $p_c$ 被表示为仅涉及因子群 $G_1,G_2,...,G_n$ 的次临界簇期望大小的方程的解。对有限群，这些方程为多项式且可显式写出。自由积的次临界簇期望大小也用各因子的次临界簇大小表示。特别地，我们证明模群 $\hbox{PSL}_2(\mathbb Z)$（取标准生成元）的 Cayley 图的 $p_c$ 为 $.5199...$，即多项式 $2p^5-6p^4+2p^3+4p^2-1$ 在区间 $(0,1)$ 内的唯一根。当群 $G_i$ 可被一串商群“良好逼近”时，我们证明这些逼近的自由积的临界概率收敛于 $G_1*G_2*...*G_n$ 的临界概率，且收敛速度为指数级。因此对剩余有限群等情形，可限于每个自由因子均为有限群的情形。我们证明 Schonmann 引入的自由积的临界点 $p_{\mathrm{exp}}$ 恰为各因子 $p_{\mathrm{exp}}$ 的最小值。