多项式增长群的一致有限表示

我们证明了“多项式增长群是有限表示的”这一陈述的一个定量精细化结果。设 $G$ 为具有有限生成集 $S$ 的群,令 $\operatorname{Gr}(r)$ 为相应 Cayley 图中半径为 $r$ 的球体积。对每个 $k \geq 0$,令 $R_k$ 为自由群 $F_S$ 中长度至多为 $2^k$ 且在 $G$ 中等于单位元的字之集合,并令 $\langle \langle R_k \rangle\rangle$ 为由 $R_k$ 生成的 $F_S$ 的正规子群,使得商映射 $F_S/\langle\langle R_k\rangle\rangle \to G$ 诱导出相应 Cayley 图的一个注入半径至少为 $2^{k-1}-1$ 的覆盖映射。给定非负整数 $k$,若 $\langle\langle R_{k+1} \rangle\rangle \neq \langle\langle R_{k} \rangle\rangle$,则称 $(G,S)$ 在尺度 $k$ 上有一个新关系。我们证明:对每个 $K<\infty$,存在仅依赖于 $K$ 与 $|S|$ 的常数 $n_0$ 和 $C$,使得若对某个 $n\geq n_0$ 有 $\operatorname{Gr}(3n)\leq K \operatorname{Gr}(n)$,则 $G$ 具有新关系的尺度 $k\geq \log_2 (n)$ 至多有 $C$ 个。我们在一篇后续论文中将此结果应用于渗流理论中 Schramm 局部性猜想的证明。