图积的有理增长与交换度

设 $G$ 为一个无限群，$X$ 为 $G$ 的一个有限生成集，使得 $G$ 相对于 $X$ 的增长级数为有理函数；此时称 $G$ 相对于 $X$ 具有有理增长。本文得到了 Cayley 图 $\Gamma(G,X)$ 中球（或球）大小的一个结果：即半径为 $n$ 的球的大小被某个整数 $\alpha \geq 0$ 和某个 $\lambda \geq 1$ 的正常数倍数 $n^\alpha \lambda^n$ 从上下两方面界定。作为该结果的一个应用，给出了交换度（d. c.）的计算：对于有限群 $F$，其交换度定义为 $F$ 中随机选取两个元素可交换的概率，而 Antolín、Martino 与 Ventura 近期将这一概念推广到了所有有限生成群。已有猜想称指数增长群 $G$ 的交换度为零。本文在 $G$ 为直角 Artin 群，或更一般地，为其中非平凡元素的中心化子“一致小”的有理增长群的图积时，验证了该猜想（对于某些生成集）。