可解群作用的增长

给定有限生成群$G$，我们关注其所有忠实作用图共有的几何性质。在本文中我们聚焦于它们的增长。若每个忠实$G$-集$X$均满足$\mathrm{vol}_{G, X}(n)\succcurlyeq f(n)$（其中$\mathrm{vol}_{G, X}(n)$为$G$在$X$上作用的增长），则称群$G$具有Schreier增长间隙$f(n)$。此处我们研究有限生成可解群的Schreier增长间隙。我们证明：若亚交换群$G$是有限呈现的或挠自由的，则只要$G$不是 virtually abelian（几乎阿贝尔）的，$G$便具有Schreier增长间隙$n^2$。我们还证明：若$G$是Krull维数为$k$的亚交换群，则$G$具有Schreier增长间隙$n^k$。例如，圈积$C_p \wr \mathbb{Z}^d$具有Schreier增长间隙$n^d$，而$\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}^d$具有Schreier增长间隙$n^{d+1}$。这些下界是紧的。对于有限Prüfer秩的可解群，只要$G$不是virtually nilpotent（几乎幂零）的，我们建立了Schreier增长间隙$\exp(n)$。这涵盖了所有在$\mathbb{Q}$上线性可表示的可解群。最后，对于一大类包含线性可表示可解群在内的挠自由可解群，我们建立了Schreier增长间隙$n^2$。