一个无自由子群的指数增长有限生成分支群

我们将给出一个具有指数增长但不包含任何非阿贝尔自由子群的分支群 $G$ 的例子。这正面回答了\cite{Bartholdi}中的问题 16。证明展示了如何为任意 $a,b \in G$ 构造一个非平凡字 $w_{a,b}(x,y)$ 使得 $w_{a,b}(a,b) = 1$。该群 $G$ 不是 just-infinite 群。我们证明了 $G$ 的每个正规子群作为抽象群都是有限生成的，且每个真商群都是可解的。此外，$G$ 具有无限虚拟第一 Betti 数，但不是 large 群。