Minimax 群的剩余有限性增长

若 $g\in G$ 为有限生成残余有限群 $G$ 中的非平凡元素，则按定义存在有限群 $Q$ 和同态态 $\varphi: G \to Q$ 使得 $\varphi(g) \neq e$。残余有限性增长 $\text{RF}_G$ 估计了元素 $g\in G$ 的单词范数 $\|g\|$ 相对于 $Q$ 的大小。该函数已研究包括自由群、灯塔群和 nilpotent 群在内的若干类群。对于有限生成线性群 $G\leq \text{GL}(m, \mathbb{C})$，已知该函数被 $\text{RF}_G(r) \preceq r^{m^2+1}$ 上界，这在 $m$ 上是二次的。本文建立改进上界 $\text{RF}_G(r) \preceq r^{4k}$，其中 $k$ 为 $G$ 的普鲁fer 秩，适用于某些几乎可解线性群，即包括几乎 polycyclic 和 Baumslag-Solitar 群的 minimax 群。此外，上界在取有限延伸下保持不变，也为几乎 nilpotent 群建立改进的多项式对数版本，概括了已知的几乎阿贝尔群的精确上界。如果群不几乎 nilpotent，则我们证明 $\text{RF}_G(r)$ 至少为线性的，改进了最近的结果。