关于有限群的剩余

Dolfi、Herzog、Kaplan 和 Lev 的一个定理 \cite[Thm.~C]{DHKL} 断言，在具有平凡 Fitting 子群的有限群中，该群的可解剩余的大小由群阶的某个幂次从下方界定，且该不等式是精确的。受此结果及 \cite{DHKL} 中部分论证的启发，我们建立了如下推广：若 $\mathfrak{X}$ 是一个子群封闭的、满特征的 Fitting 群系，且不包含所有有限群，而 $\overline{\mathfrak{X}}$ 是 $\mathfrak{X}$ 的扩张闭包，则存在一个仅依赖于 $\mathfrak{X}$ 的（最优）常数 $\gamma$，使得对所有具有平凡 $\mathfrak{X}$-根的非凡有限群 $G$，有 \begin{equation} \left\lvert G^{\overline{\mathfrak{X}}}\right\rvert \,>\, \vert G\vert^\gamma, \end{equation} 其中 $G^{\overline{\mathfrak{X}}}$ 是 $G$ 的 ${\overline{\mathfrak{X}}}$-剩余。当 $\mathfrak{X} = \mathfrak{N}$，即有限幂零群类时，可得 $\overline{\mathfrak{X}} = \mathfrak{S}$，即有限可解群类，从而我们恢复了 Dolfi、Herzog、Kaplan 和 Lev 的原始定理。在本文最后一节，基于 J. G. Thompson 对极小单群的分类，我们展示了一族子群封闭的、满特征的 Fitting 群系 $\mathfrak{X}$，满足 $\mathfrak{S} \subset \overline{\mathfrak{X}} \subset \mathfrak{E}$，从而为我们的主要结果提供了超出 \cite[Thm.~C]{DHKL} 适用范围的应用。