关于有限群子群的偏 $\Pi$-性质

设 $H$ 是有限群 $G$ 的一个子群。如果存在 $G$ 的一个主列 $\mathit{\Gamma}_G:1=G_0<G_1<\cdots<G_n=G$，使得对于 $\mathit{\Gamma}_G$ 的每个 $G$-主因子 $G_i/G_{i-1}$ ($1\leq i\leq n$)，$|G/G_{i-1}:N_{G/G_{i-1}}(HG_{i-1}/G_{i-1}\cap G_i/G_{i-1})|$ 是一个 $\pi(HG_{i-1}/G_{i-1}\cap G_i/G_{i-1})$-数，则称 $H$ 在 $G$ 中满足偏 $\Pi$-性质。我们的主要结果列举如下：定理 A. 设 $\mathfrak{F}$ 是包含 $\mathfrak{U}$ 的可溶饱和群系，$E$ 是 $G$ 的正规子群且 $G/E\in \mathfrak{F}$。设 $X\unlhd G$ 使得 $F_p^*(E)\leq X\leq E$。假设对于 $X$ 的任意 Sylow $p$-子群 $P$，$P$ 的每个极大子群在 $G$ 中均满足偏 $\Pi$-性质。则以下结论之一成立：(1) $G\in \mathfrak{G}_{p'}\mathfrak{F}$。(2) $X/O_{p'}(X)$ 是一个 Sylow $p$-子群阶为 $p$ 的拟单群。特别地，若 $X=F_p^*(E)$，则 $X/O_{p'}(X)$ 是一个单群。定理 B. 设 $\mathfrak{F}$ 是包含 $\mathfrak{U}$ 的可溶饱和群系，$E$ 是 $G$ 的正规子群且 $G/E\in \mathfrak{F}$。假设对于 $F_p^*(E)$ 的任意 Sylow $p$-子群 $P$，$P$ 的每个素数阶循环子群或（当 $P$ 非四元数自由时）4 阶循环子群在 $G$ 中均满足偏 $\Pi$-性质。则 $G\in \mathfrak{G}_{p'}\mathfrak{F}$。