Schenkman 定理的一个推广

设 $G$ 为有限群，$\mathfrak{F}$ 为遗传饱和形成。我们以 $\mathbf{Z}_{\mathfrak{F}}(G)$ 表示 $G$ 的所有正规子群 $N$ 的乘积，使得 $G$ 中位于 $N$ 下方的每个 chief 因子 $H/K$ 在 $G$ 中是 $\mathfrak{F}$-中心的，即 $$(H/K) \rtimes (G/\mathbf{C}_{G}(H/K)) \in \mathfrak{F}.$$子群 $A \leq G$ 被称为在 Kegel 意义下 $\mathfrak{F}$-次正规的，或 $G$ 中的 $K$-$\mathfrak{F}$-次正规的，如果存在子群链 $$A = A_0 \leq A_1 \leq \ldots \leq A_n = G$$使得对所有 $i = 1, \ldots , n$，要么 $A_{i-1} \trianglelefteq A_{i}$，要么 $A_i / (A_{i-1})_{A_i} \in \mathfrak{F}$。在本文中，我们证明以下关于次正规子群幂零剩余中心化子的 Schenkman 定理的推广：设 $\mathfrak{F}$ 为遗传饱和形成，$S$ 为 $G$ 的 $K$-$\mathfrak{F}$-次正规子群。若对满足 $S \leq E$ 的 $G$ 的每个子群 $E$ 均有 $\mathbf{Z}_{\mathfrak{F}}(E) = 1$，则 $\mathbf{C}_{G}(D) \leq D$，其中 $D = S^{\mathfrak{F}}$ 为 $S$ 的 $\mathfrak{F}$-剩余。