(超)Kähler 流形 Torelli 群的有限性与无限性结果

闭光滑流形 $X$ 的 Torelli 群 $\mathcal T(X)$ 是映射类群 $\pi_0(\mathrm{Diff}^+(X))$ 中在 $X$ 的整数上同调上作用平凡的元素组成的子群。在本注记中，我们给出 Verbitsky 论文《Mapping class group and a global Torelli theorem for hyperkähler manifolds》（Duke Math. J. 162 (2013), no. 15, 2929–2986）中定理 3.4 的反例，该定理断言复维数 $\ge 3$ 的单连通 Kähler 流形的 Torelli 群是有限的。这是在一些温和条件下构造同态 $J: \mathcal T(X) \to H^3(X;\mathbb Q)$ 并证明对某些 Kähler 流形该映射非平凡来实现的。我们还给出了该论文中定理 3.5 (iv) 的反例，Verbitsky 在其中声称超 Kähler 流形的 Torelli 群是有限的。这些例子由微分同胚在 $\pi_4(X)$ 上的作用所探测到。最后我们确认了超 Kähler 流形 $K^{[2]}$ 这一特殊情形下的有限性结果。