关于有限群长度与不动点

有限群 $G$ 的广义 Fitting 高度是最小的数 $h=h^*(G)$，使得 $F^*_h(G)=G$，其中 $F^*_i(G)$ 是广义 Fitting 级数：$F^*_1(G)=F^*(G)$ 且 $F^*_{i+1}(G)$ 是 $F^*(G/F^*_{i}(G))$ 的逆像。证明了如果 $G$ 容许一个阶互素的可解自同构群 $A$，则 $h^*(G)$ 由 $h^* (C_G(A))$（其中 $C_G(A)$ 是不动点子群）以及 $|A|$ 的素因子个数（计重数）所界定。该结果源于 $A=\langle\varphi\rangle$ 为素数阶的特殊情况，此时证明了 $F^*(C_G(\varphi ))\leqslant F^*_{9}(G)$。有限群 $G$ 的非可解长度 $\lambda (G)$ 定义为正规级数中非可解因子的最小数量，该级数的每个因子要么是可解的，要么是非阿贝尔单群的直积。证明了如果 $A$ 是 $G$ 的一个阶互素的自同构群，则 $\lambda (G)$ 由 $\lambda (C_G(A))$ 以及 $|A|$ 的素因子个数（计重数）所界定。