有限群的非可解长度与非 p-可解长度

每个有限群 $G$ 都有一个正规列，其因子要么是可解的，要么是非阿贝尔单群的直积。我们将此类列中非可解因子的最小数量定义为非可解长度 $\lambda (G)$。$\lambda (G)$ 的上界出现在关于有限群、剩余有限群和 profinite 群的各种问题研究中。我们证明了 $\lambda (G)$ 受 $G$ 的可解子群的最大 $2$-长度所界定，且 $\lambda (G)$ 受可解子群的最大 Fitting 高度所界定。对于奇素数 $p$，引入了非 $p$-可解长度 $\lambda _p(G)$，并证明了 $\lambda _p(G)$ 不超过 $p$-可解子群的最大 $p$-长度。我们猜想，对于给定的素数 $p$ 和给定的真群簇 ${\frak V}$，其 Sylow $p$-子群属于 ${\frak V}$ 的有限群 $G$ 的非 $p$-可解长度 $\lambda _p(G)$ 是有界的。在本文中，我们证明了该猜想对于任何由若干可解簇和有限指数簇的乘积构成的簇均成立。