容许满足附加多项式恒等式的无不动点自同构的有限群的 Fitting 高度

设 $f(x)$ 为具有整数系数的非零多项式。群 $G$ 的自同构 $\varphi$ 若满足初等阿贝尔恒等式 $f(x)$，是指 $\varphi$ 在 $G$ 的每个特征初等阿贝尔截面 $S$ 上诱导的线性变换被 $f(x)$ 零化。我们证明：若有限（可解）群 $G$ 容许一个满足初等阿贝尔恒等式 $f(x)$ 的无不动点自同构 $\varphi$，其中 $f(x)$ 为本原多项式，则 $G$ 的 Fitting 高度可由 $\operatorname{deg}(f(x))$ 界定。我们还证明：若 $f(x)$ 为任意非零多项式，且 $G$ 是关于仅依赖于 $f(x)$ 的有限素数集 $\sigma=\sigma(f(x))$ 的 $\sigma'$-群，则 $G$ 的 Fitting 高度可由 $f(x)$ 分解中不可约因子个数 $\operatorname{irr}(f(x))$ 界定。当 $\operatorname{deg} (f(x))$ 或 $\operatorname{irr}(f(x))$ 相对于 $\langle\varphi\rangle$ 的合成长度 $\alpha (|\varphi|)$ 较小时，这些 Fitting 高度的界强于众所周知的以 $\alpha (|\varphi|)$ 为界的估计。