相对极大子群的搜索何时可归约到商群？

设 ${\mathfrak{X}}$ 为在取子群、同态像和扩张下封闭的有限群类。对有限群 $G$，记 ${\mathrm{k}}_{\mathfrak{X}}(G)$ 为其 ${\mathfrak{X}}$-极大子群的共轭类数。描述给定有限群至共轭的 ${\mathfrak{X}}$-极大子群这一自然问题因非归纳性而复杂化。特别地，一般而言，${\mathfrak{X}}$-极大子群的同态像未必是像中的 ${\mathfrak{X}}$-极大子群。尽管如此，存在保持 ${\mathfrak{X}}$-极大子群共轭类数的群同态（例如核为 ${\mathfrak{X}}$-群的同态）。在此类同态下，${\mathfrak{X}}$-极大子群的像总是 ${\mathfrak{X}}$-极大的，且像与原像的 ${\mathfrak{X}}$-极大子群共轭类间存在自然双射。本文完全刻画了所有此类同态。更确切地说，证明了对于群 $G$ 的同态 $\phi$，等式 ${\mathrm{k}}_{\mathfrak{X}}(G)={\mathrm{k}}_{\mathfrak{X}}(\mathrm{im}\, \phi)$ 成立当且仅当 ${\mathrm{k}}_{\mathfrak{X}}(\ker \phi)=1$，而这又等价于 $\phi$ 的核的合成因子属于一个明确给出的列表。