具有无限循环顶群的圈积的可交换度

有限群的可交换度是两个均匀随机选取的元素可交换的概率。这一概念自然推广到有限生成群 $G$：相对于给定有限生成集 $S$ 的可交换度 $\text{dc}_S(G)$，是通过考虑 Cayley 图 $\mathcal{C}(G,S)$ 中围绕 $1_G$ 的递增球内可交换元素对的比例得到的。我们关注限制圈积形式 $G = H \wr \langle t \rangle$，其中 $H \ne 1$ 有限生成且顶群 $\langle t \rangle$ 为无限循环。与一个更一般的猜想一致，我们证明了对于此类群 $G$，无论 $S$ 如何选择，均有 $\text{dc}_S(G) = 0$。这推广了 Cox 针对某些类型生成集考虑灯夫群的结果。我们还推导了 Cox 主要辅助结果的推广：在上述圈积 $G$ 的“充分大”同态像中，底群之像相对于某些类型生成集具有零密度。