关于凯莱图的二分常数与扩张性

设 $G$ 为一个有限的、无向的 $d$-正则图，$A(G)$ 为其归一化邻接矩阵，特征值为 $1 = \lambda_1(A)\geq \dots \ge \lambda_n \ge -1$。一个经典结论是 $\lambda_n = -1$ 当且仅当 $G$ 是二分图。我们的主要结果在凯莱图的情形下，根据其扩张性给出了 $\lambda_n$ 与 $-1$ 的定量分离。以 $h_{out}$ 表示 $G$ 的（外边界）顶点扩张，我们证明若 $G$ 是一个非二分凯莱图（由一个群和大小为 $d$ 的对称生成集构造），则 $\lambda_n \ge -1 + ch_{out}^2/d^2\,$，其中 $c$ 为绝对常数。我们给出了一些图，使该结果在依赖于 $d$ 的因子范围内是紧的。这改进了 Biswas 和 Saha 近期的结果，他们证明了 $\lambda_n \ge -1 + h_{out}^4/(2^9d^8)\,$。我们还指出，这样的结果对于一般非二分图不可能成立。