关于有限群Cayley图中的一类Cheeger型不等式

设 $G$ 为有限群。Breuillard-Green-Guralnick-Tao 曾指出,若 Cayley 图 $C(G,S)$ 为扩张图且非二部,则邻接算子 $T$ 的谱与 $-1$ 有正距离。本文关注这些图谱的显式界。具体而言,我们证明邻接算子的非平凡谱落在区间 $\left[-1+\frac{h(\mathbb{G})^{4}}{\gamma}, 1-\frac{h(\mathbb{G})^{2}}{2d^{2}}\right]$ 内,其中 $h(\mathbb{G})$ 表示 $d$ 正则图 $C(G,S)$ 关于对称生成元集 $S$ 的(顶点)Cheeger 常数,且 $\gamma = 2^{9}d^{6}(d+1)^{2}$。