Cheeger 不等式与上边缘展开：超越常系数

图的 Cheeger 常数，或其等价的上边缘展开，量化了图的扩展性。该概念隐含地假定了系数群的选择，即 $\mathbb{F}_2$。本文研究赋予广义系数群（称为层）的图的 Cheeger 型不等式；其动机来自余上同调展开与局部可测码的应用。我们证明：一个图是好的谱扩展器，当且仅当它相对于任意（或某个）常值层具有好的上边缘展开，或等价地，相对于任意“普通”系数群具有好的上边缘展开。我们进一步表明，在明确定义意义下接近常值的层若其底层图是扩展器，则也是好的上边缘扩展器，从而给出稀疏图上非常值层中良好上边缘展开的首个例子。相反，我们观察到对于图上的一般层，不可能将图的扩展性与该层的上边缘展开联系起来。我们将结果专用于（有限）球状建筑上的层。具体而言，我们证明：若 $q>9d^2$，则 $q$-厚 $d$ 维球状建筑底层（加权）图的归一化第二特征值为 $O(\frac{1}{\sqrt{q}-3d})$。将其代入我们关于上边缘展开的结果，给出了球状建筑上某些常值与非常值层的上边缘展开的显式下界；对固定维数 $d$，当下述厚度 $q$ 增大时，这些界趋近于一个常数。在此过程中，我们证明了 $r$-部加权图的扩展混合引理的一个新版本。