随机几何图的最优 Cheeger 割与对分

设 $d \geq 2$。图的 Cheeger 常数是顶点集所有相对体积不超过 1/2 的子集的最小表面积与体积之比。此处有多种定义表面和体积的方式：最简单的方法是计数边界边（作为表面）和顶点（作为体积）。我们证明，对于 $d$ 维具有 Lipschitz 边界的域上 $n$ 个随机点构成的几何（可能带权）图，当距离参数（作为 $n$ 的函数）衰减慢于连通阈值时，Cheeger 常数（在若干可能的表面与体积定义下），亦称电导，经适当重新标度后，对于大 $n$ 收敛于该域的类似 Cheeger 型常数。此前，Garc\'ia Trillos 等人已对 $d \geq 3$ 证明了该结论，但在 $d=2$ 时需要对距离参数附加条件。