图的等周谱及其逼近

本文研究（有限有向）图的高阶等周数。在此方面，我们聚焦于有向图的 $n$ 阶平均等周常数，其定义为从图的顶点集的给定 $n$ 个不相交子集出发的平均流出归一化流的最小值。我们证明，在此一般设定下，二阶平均等周常数与图的经典 Cheeger 常数（的平均版本）一致；而对于谱的其余部分，我们表明 $n$ 阶等周常数与通过对所有 $n$-划分取最小值所得到的数之间存在根本差异。在此方向上，我们证明了我们的定义是正确的，因为它满足 Federer-Fleming 型定理；此外，我们定义并给出了超几何图（supergeometric graph）的概念及实例，即其平均等周常数在所有层级上均在划分处达到的图。此外，考虑到图上等周问题的 ${\bf NP}$-完全性，我们探讨了逼近问题，证明了产生一般 Cheeger 型不等式的一般谱不等式。另一方面，我们还考虑了该问题的一些算法层面，展示了其与图的正交表示的联系，并遵循 J.~Malik 和 J.~Shi ($2000$) 的工作，研究了其与著名的 $k$-means 算法和归一化割（normalized cuts）方法的密切关系。