关于图的等分数常数的 Houdr\'e-Tetali 猜想

Houdr\'e 和 Tetali 定义了图的等分数常数 $\varphi_p$（其中 $0 \leq p \leq 1$），并提出了如下关于 $\varphi_\frac12$ 的 Cheeger 型不等式的猜想：$$\lambda_2 \lesssim \varphi_\frac12 \lesssim \sqrt{\lambda_2}$$其中 $\lambda_2$ 为归一化拉普拉斯矩阵的第二个最小特征值。若该猜想成立，将强化经典 Cheeger 不等式中较弱方向的结论。Morris 和 Peres 利用演化集技术证明了 Houdr\'e 和 Tetali 猜想，只是需要额外的对数因子。我们在此给出以下相关结果： - 我们提供一族反例，说明该猜想需要对数因子。 - 我们使用标准谱方法匹配 Morris 和 Peres 的上界。 - 我们证明对于任何严格大于 $\frac12$ 的常数 $p$，Houdr\'e 和 Tetali 的猜想都成立，这也是对经典 Cheeger 不等式中较弱方向的一个强化。此外，我们的结果可推广至有向图，通过使用 Chung 对有向图的特征值定义。