顶点扩张与重加权特征值的 Cheeger 不等式

经典的 Cheeger 不等式将图的边电导 $\phi$ 与拉普拉斯矩阵的第二小特征值 $\lambda_2$ 联系起来。最近，Olesker-Taylor 和 Zanetti 发现了一种 Cheeger 型不等式 $\psi^2 / \log |V| \lesssim \lambda_2^* \lesssim \psi$，将图 $G=(V,E)$ 的顶点扩张 $\psi$ 与拉普拉斯矩阵的最大重加权第二小特征值 $\lambda_2^*$ 联系起来。在本工作中，我们首先将其结果改进为 $\psi^2 / \log d \lesssim \lambda_2^* \lesssim \psi$，其中 $d$ 为 $G$ 中的最大度，该结果在小集扩张猜想下是最优的。此外，改进后的结果对加权顶点扩张也成立，回答了 Olesker-Taylor 和 Zanetti 的一个开放问题。基于这一联系，我们随后发展了顶点扩张的新谱理论。我们发现，若干联系边电导与特征值的 Cheeger 不等式的有趣推广，在联系顶点扩张与重加权特征值方面具有紧密的对应。这些包括 Trevisan 关于二部性结果的对应、高阶 Cheeger 不等式的对应，以及改进 Cheeger 不等式的对应。最后，受此联系启发，我们对 Mihail 和 Vazirani 的 $0/1$-多面体边扩张猜想给出反证性证据。我们构造了顶点扩张极差的 $0/1$-多面体。这意味着在这些 $0/1$-多面体的顶点上达到均匀分布的最快混合时间几乎与图大小成线性。这并未给出该猜想的反例，但与已知肯定结果形成对比，后者证明了在 $0/1$-多面体的子类顶点上达到均匀分布的多项式对数混合时间。