利用重加权特征值的含向图与超图 Cheeger 不等式

我们利用最近针对无向图顶点扩张提出的重加权特征值方法 [OZ22,KLT22,JPV22]，推导了有向图和超图的 Cheeger 不等式。目标是为含向图发展一种新的谱理论，并为超图提供一种替代的谱理论。第一个主要结果是一个 Cheeger 不等式，将有向图 $G$ 的顶点扩张 $\vec{\psi}(G)$ 与顶点容量最大重加权第二特征值 $\vec{\lambda}_2^{v*}$ 联系起来：$$\vec{\lambda}_2^{v*} \lesssim \vec{\psi}(G) \lesssim \sqrt{\vec{\lambda}_2^{v*} \cdot \log (\Delta/\vec{\lambda}_2^{v*})}.$$ 这通过顶点扩张给出了有向图最快混合时间的组合刻画，并在重加权特征值、顶点扩张和有向图最快混合时间之间建立了新的联系。第二个主要结果是一个更强的 Cheeger 不等式，将有向图 $G$ 的边电导 $\vec{\phi}(G)$ 与边容量最大重加权第二特征值 $\vec{\lambda}_2^{e*}$ 联系起来：$$\vec{\lambda}_2^{e*} \lesssim \vec{\phi}(G) \lesssim \sqrt{\vec{\lambda}_2^{e*} \cdot \log (1/\vec{\lambda}_2^{e*})}.$$ 这为有向图是扩张图提供了证书，并给出了在有向图中寻找稀疏割的谱算法，其作用类似于 Cheeger 不等式在无向图扩张证明和谱划分算法中的作用。我们还利用该重加权特征值方法推导了有向图的改进 Cheeger 不等式，并进一步推导了多个与 [Lou15,CLTZ18] 中现有结果持平或更好的超图 Cheeger 不等式。这些支撑结果表明，该方法为将无向图的谱理论提升到更一般情形提供了一种统一途径。