通过热方程在超图中寻找 Cheeger 割

Cheeger 不等式表明，可利用与图 $G$ 相关联的归一化拉普拉斯矩阵的特征向量从 $G$ 中提取一个紧密连通的子集。更具体地说，我们可以计算出一个具有 conductance $O(\sqrt{\phi_G})$ 的子集，其中 $\phi_G$ 是 $G$ 中集合的最小 conductance。最近已证明 Cheeger 不等式可推广到超图。然而，由于超图的归一化拉普拉斯算子不再是矩阵，我们只能近似其特征向量；这导致所得子集的 conductance 出现损失。为解决该问题，我们在此考虑超图上的热方程，这是一个利用归一化拉普拉斯算子的微分方程。我们证明热方程有唯一解，并且我们可以从该解中提取出具有 conductance $\sqrt{\phi_G}$ 的子集。类似结果对有向图也成立。