Cheeger 型稀疏 $st$-割近似

我们引入了稀疏割（Sparsest-Cut）问题的 $st$-割版本，其目标是在分离两个特定顶点 $s,t\in V$ 的所有割中，找到一个稀疏度最小的割。显然，该问题至少与通常的（非 $st$）版本一样困难。我们的主要结果是针对乘积需求（product-demands）设定提出了一个多项式时间算法，该算法产生的割的稀疏度为 $O(\sqrt{\OPT})$，其中 $\OPT$ 表示最优值，且假设总边容量和总需求经归一化后均为 $1$。我们的结果推广了 Trevisan [arXiv, 2013] 针对同一问题非 $st$ 版本（即具有乘积需求的稀疏割）的近期工作，而后者又推广了由离散 Cheeger 不等式所实现的界；离散 Cheeger 不等式是谱图论的基石，拥有众多应用。事实上，Cheeger 不等式处理的是图传导率（graph conductance），这是乘积需求中与顶点（带容量）度数成比例的特殊情况。在此过程中，我们还针对稀疏 $st$-割的一般需求（general-demands）设定获得了 $O(\log n)$ 近似，其中 $n=\card{V}$。