平面图和准二分图的割保持顶点稀疏化

我们研究顶点稀疏化以保持割。给定具有子集 $|T|=k$ 的图 $G$，称为术语的质量-$q$ 割稀疏器是图 $G'$，其包含 $T$，使得对于将 $T$ 划分为非空子集的任意划分 $(T_1,T_2)$，将 $T_1$ 与 $T_2$ 分离的 $G'$ 中的最小割值与 $G$ 中将 $T_1$ 与 $T_2$ 分离的最小割值相符。构造具有良好（小）质量和大小的割稀疏器一直是图压缩的核心问题之一。平面图和准二分图是该研究方向中两个重要的特殊家族。本文的主要结果是针对它们在高质量 regime（其中 $q=1$ 或 $1+\varepsilon$ 对于小 $\varepsilon>0$）提出新的割稀疏器构造。首先，我们表明每个平面图都允许一个平面质量-$(1+\varepsilon)$ 割稀疏器，大小为 $\tilde O(k/\text{poly}(\varepsilon))$，这与 $q=1$ 情况下 $2^{\Omega(k)}$ 的下界形成鲜明对比。随后，我们表明每个准二分图都允许一个质量-$1$ 割稀疏器，大小为 $2^{\tilde O(k^2)}$。这第二个结果是继平面图被证明具有单指数大小质量-$1$ 割稀疏器之后，第二个改进一般图中双指数界的结果。最后，我们表明收缩——这是大多数以前工作中用于构造割稀疏器的方法——并不总是为割稀疏器提供最优界限。我们通过显示准二分图的质量-$(1+\varepsilon)$ 收缩基于割稀疏器的最优大小界位于范围 $[k^{\tilde\Omega(1/\varepsilon)},k^{O(1/\varepsilon^2)}]$ 内，而在以前的工作中通过非收缩方法实现的上界为 $\tilde O(k/\varepsilon^2)$ 来说明这一点。