准二分图中的流稀疏器近紧界
数据结构与算法
2024-09-09 v2
摘要
流稀疏化是一种经典的图压缩技术，给定包含 k 个终点的容量图 G，旨在构建另一个容量图 H（称为流稀疏器），以准确或近似地保持终点之间的所有多商品流（理想情况下，规模应尽可能小，仅为 k 的函数）。割稀疏器是流稀疏器的一个受限变种，仅需保持终点集合中二分割之间的最大流。已知精确割稀疏器需要 2^{Ω(k)} 个顶点 [Krauthgamer and Rika, SODA 2013]，其中困难实例为准二分图，即非终点之间无边。相反，最近的研究表明，对仅含6个终点的网络，精确（或即使是 (1+ε)）近似流稀疏器的规模可能是无界的 [Krauthgamer and Mosenzon, SODA 2023, Chen and Tan, SODA 2024]。本文构造了规模为 3^{k^{3}} 的精确流稀疏器和规模为 2^{k^2} 的精确割稀疏器，适用于准二分图。特别是，流稀疏器是基于收缩的，即通过（顶点）收缩操作获得输入图。我们的主要贡献是一种新型稀疏化技术，利用多面体几何的联系，能够推广至具有小分离器、将图分解为小组件的图。我们还给出了界限 treewidth 图的改进约化定理 [Andoni 等, SODA 2011]，从而得到规模为 O(k·w) 且质量为 O( log w / log log w ) 的流稀疏器，其中 w 为 treewidth。
引用
@article{arxiv.2407.09433,
title = {Nearly-Tight Bounds for Flow Sparsifiers in Quasi-Bipartite Graphs},
author = {Syamantak Das and Nikhil Kumar and Daniel Vaz},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.09433},
year = {2024}
}