平面图中顶点稀疏化的改进保证

图稀疏化旨在将大图压缩为较小的图，同时保留输入图的重要特征。本文研究顶点稀疏化器（Vertex Sparsifiers），即以减少顶点数为目标的稀疏化器。我们关注以下概念：(1) 给定有向图 $G=(V,E)$ 与终端顶点集 $K \subset V$ 且 $|K| = k$，$G$ 的（顶点）可达性稀疏化器是一个有向图 $H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，其保留终端点对间的所有可达性信息。本文引入可达性保持子式（reachability-preserving minors, RPMs）的概念，即要求 $H$ 是 $G$ 的一个子式。我们证明任意有向图 $G$ 存在一个大小为 $O(k^3)$ 的 RPM $H$，若 $G$ 为平面图，则 $H$ 的大小改进为 $O(k^{2} \log k)$。我们通过证明存在无限网格族使得任何 RPM 必须具有 $\Omega(k^{2})$ 个顶点来补充该上界。(2) 给定带权无向图 $G=(V,E)$ 与终端顶点集 $K$ 且 $|K|=k$，$G$ 的精确（顶点）割稀疏化器是一个图 $H$，满足 $K \subset V_H$，且保留分离 $K$ 任意二划分的最小割值。我们证明所有 $k$ 个终端位于同一面上的平面图允许大小为 $O(k^{2})$ 且仍为平面的精确割稀疏化器。我们的结果可推广至流与距离稀疏化器。它将此前已知的割与流稀疏化器界 $O(k^22^{2k})$ 改进了指数因子，并匹配了此类图的 $\Omega(k^2)$ 下界。