动态最短路径工具箱：低拥塞顶点稀疏化器及其应用

我们提出了一个基于新型顶点稀疏化器的通用工具箱，用于设计在动态图中维护最短路径的数据结构。在一个经历边插入与删除的 $m$ 边图中，我们的数据结构给出了首个用于维护（a）$m^{o(1)}$-近似全源最短路径（APSP）的算法，其最坏情况更新时间为 $m^{o(1)}$、查询时间为 $\tilde{O}(1)$；（b）一棵树 $T$，其直径不超过底层图直径的次多项式因子倍，且每次更新在均摊次多项式时间内处理。在仅经历边删除的图中，我们开发了一个更简单高效的数据结构，以每次更新均摊时间 $m^{o(1)}$ 维护图在边删除过程中的 $(1+\epsilon)$-近似单源最短路径（SSSP）树 $T$。我们的数据结构是确定性的。我们所能维护的树并非 $G$ 的子图，而是以很小的边拥塞嵌入到 $G$ 中。这与以往方法形成鲜明对比，并对内部使用树来路由流的算法很有用。为说明我们新工具箱的威力，我们展示了我们的 SSSP 数据结构在若干场景下给出了流路由 MWU 方法的简单确定性实现，而此前仅知随机化方法。为获得我们的工具箱，我们给出了首个算法：给定经历边插入与删除的图 $G$ 和动态终端集 $A$，维护一个顶点稀疏化器 $H$，其近似保持 $A$ 中终端间距离、由至多 $|A|m^{o(1)}$ 个顶点和边组成，且可在最坏情况时间 $m^{o(1)}$ 内更新。关键的是，我们的顶点稀疏化器构造允许我们维护 $H$ 到 $G$ 的低边拥塞嵌入，这是我们的应用所需要的。