可达性保持子图：新的极值界与近似算法

我们抽象并研究了可达性保持子图（reachability preserver）这一图论原语，它隐含于先前关于网络设计的工作中。给定有向图 $G = (V, E)$ 与一组需求对 $P \subseteq V \times V$，可达性保持子图是一个稀疏子图 $H$，它保持所有需求对之间的可达性。我们的首要贡献是一系列关于可达性保持子图大小的极值界。我们的主要结果表明，对于 $n$ 个节点的图以及形如 $P \subseteq S \times V$（其中 $S$ 为小规模节点子集）的需求对，总存在一个边数为 $O(n+\sqrt{n |P| |S|})$ 的可达性保持子图。我们还给出了一个下界构造，证明该上界刻画了在较大参数范围内普遍可能存在 $O(n)$ 规模可达性保持子图的设定。本文的第二项贡献是极值图稀疏化结果与经典 Steiner 网络设计问题之间的新联系。令人惊讶的是，在此工作之前，这两个领域间技术渗透一直流于表面。这使我们能将定向图中最基本 Steiner 型问题的当前最优近似算法，从 Chlamatac、Dinitz、Kortsarz 与 Laekhanukit（SODA'17）的 $O(n^{0.6+\varepsilon})$ 改进至 $O(n^{4/7+\varepsilon})$。