近似稀疏生成子与有向 Steiner 森林：上界与下界

最近发现，加性稀疏生成子（所有距离均保持至一个加性拉伸的子图）、距离保持器（需求对的距离被精确保持的子图）与成对稀疏生成子（需求对的距离被保持至一个乘性或加性拉伸的子图）之间存在非常密切的联系 [Abboud-Godwin SODA '16, Godwin-Williams SODA '16]。我们从优化的角度研究这些问题，即不是研究极端实例的存在性，而是给定一个实例并要求找到尽可能稀疏的稀疏生成子/保持器。我们给出了距离保持器与成对稀疏生成子的 $O(n^{3/5 + \epsilon})$ 近似（对于任意常数 $\epsilon > 0$）。这是这两个问题中任意一个的第一个非平凡上界，已知这两个问题的近似难度均与 Label Cover 相当。我们还证明了近似加性稀疏生成子的 Label Cover 困难性，即使是加性 1 拉伸的情形（由于相关的乘性 2-稀疏生成子问题存在 $O(\log n)$ 近似，人们可能期望其存在对数多项式近似）与加性对数多项式拉伸的情形（相关的乘性稀疏生成子问题存在 $O(1)$ 近似）。有趣的是，我们在近似算法中使用的技术超越了基于距离的问题，延伸至纯连通性网络设计问题。特别地，我们的技术使我们在所有边具有均匀成本时，能够给出有向 Steiner 森林问题的 $O(n^{3/5 + \epsilon})$ 近似（对于任意常数 $\epsilon > 0$），改进了 Berman 等人 [ICALP '11] 此前最佳的 $O(n^{2/3 + \epsilon})$ 近似（该近似对一般边成本成立）。