在线有向Spanner与Steiner森林

我们提出了有向 spanner 与 Steiner 森林的在线算法。这些问题属于 Buchbinder 与 Naor (MOR, 34, 2009) 基于原始对偶技术所发展的在线覆盖线性规划形式的统一框架。我们的结果包括如下内容：对于成对 spanner 问题，其中待连通的顶点对在线到达，我们针对具有一般长度的图提出了一种高效的随机化 $\tilde{O}(n^{4/5})$-竞争算法，其中 $n$ 为顶点数。在均匀长度下，我们给出一种高效的随机化 $\tilde{O}(n^{2/3+\epsilon})$-竞争算法，以及一种高效的确定性 $\tilde{O}(k^{1/2+\epsilon})$-竞争算法，其中 $k$ 为终端对数。这些是有向 spanner 的首批在线算法。在离线情形下，均匀长度下当前最佳近似比由 Chlamtac、Dinitz、Kortsarz 与 Laekhanukit (TALG 2020) 给出的 $\tilde{O}(n^{3/5 + \epsilon})$。对于均匀代价下的有向 Steiner 森林问题，其中待连接的顶点对在线到达，我们提出一种高效的随机化 $\tilde{O}(n^{2/3 + \epsilon})$-竞争算法。针对一般代价的最先进在线算法由 Chakrabarty、Ene、Krishnaswamy 与 Panigrahi (SICOMP 2018) 提出，其竞争比为 $\tilde{O}(k^{1/2 + \epsilon})$。在离线版本中，均匀代价下当前最佳近似比由 Abboud 与 Bodwin (SODA 2018) 给出的 $\tilde{O}(n^{4/7 + \epsilon})$。Buchbinder 与 Naor 的在线覆盖框架的一个微小改动意味着一种具有分离预言机的多项式时间原始对偶方法，其先验上可能进行指数多次调用。我们将在线 spanner 问题与在线 Steiner 森林问题转化为在线覆盖问题，并以针对特定问题的方式进行了舍入。