基于 Steiner 生成树与非 Steiner 树覆盖的平面域 Spanner

我们研究平面域中的 spanner，包括多边形域、多面体地形和平面度量。先前的工作表明，对于任意常数 $\epsilon\in (0,1)$，可以构造具有 $O(n\log(n))$ 条边的 $(2+\epsilon)$-spanner（SICOMP 2019），并且任何 $(2-\epsilon)$-spanner 都存在 $\Omega(n^2)$ 条边的下界（SoCG 2015）。主要的开放问题是：线性数量的边是否足够，以及拉伸因子是否可以降至 $2$。我们解决了这个问题，证明了对于拉伸因子 $2$，需要 $\Omega(n\log n)$ 条边；而对于任意固定 $\epsilon \in (0,1)$ 的拉伸因子 $2+\epsilon$，$O(n)$ 条边即可。我们的下界是针对拉伸因子 $2$ 的首个超线性下界。在得出该结果的过程中，我们引入了为度量构造非 Steiner 树覆盖的问题，这是著名的树 Steiner 点移除问题（SODA 2001）的一个自然变体。给定一棵树及树中的一组终端，我们的目标是构造一个包含少量支配树的集合，使得对于任意两点，集合中至少有一棵树能在较小的拉伸因子内保持它们的距离。在此，我们发现了 $2$ 附近的一个意外阈值现象，即树的数量从 $n$ 到 $\Theta(\log n)$ 再到 $O(1)$ 发生急剧变化。具体而言， 对于拉伸因子 $2-\epsilon$，需要 $\Omega(n)$ 棵树； 对于拉伸因子 $2$，$\Theta(\log n)$ 棵树是必要且充分的； 对于拉伸因子 $2+\epsilon$，常数数量的树即可。此外，我们针对拉伸因子 $2$ 的非 Steiner 树覆盖的下界技术在证明树度量中两个相关构造的下界时具有进一步应用：可靠 spanner 和局部敏感排序。我们关于局部敏感排序的下界与最佳上界相匹配（STOC 2022）。