突破 $n \cdot f$ 边界的容错距离查询

容错稠密子图是一种在图中即使在边缘故障下仍能保持距离的基本对象。Bodwin、Dinitz、Robelle（SODA 2022）的一系列工作给出了 $(2k-1)$ 延伸、$f$ 容错稠密子图，其边数为 $O(k^2 f^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}} n^{1+\frac{1}{k}} + k f n)$，其中 $k$ 为任意奇数。对于任意 $k = \tilde{O}(1)$，该界限在确定性稠密子图中几乎是最优的，部分原因是已知的 folk folklore 下界表明，\emph{任何} $f$ 容错稠密子图在最坏情况下的边数至少为 $\Omega(nf)$。对于 $f \geq n$，这个 $\Omega(nf)$ 边界意味着任何 $f$ 容错稠密子图的大小都是平凡的。关键在于，已知的下界利用了稠密子图\emph{本身即为子图}这一事实。它并不排除可能不是子图的 distance-reporting 数据结构。这引出我们的核心问题：能否通过容错距离查询突破 $n \cdot f$ 边界？我们给出了强有力的肯定回答。作为我们的第一项贡献，我们构建了 $f$ 容错距离查询，其延伸为 $O(\log(n)\log\log(n))$，仅需 $\widetilde{O}(n\sqrt{f})$ 位的空间；远低于稠密子图边界的 $n \cdot f$。除了此之外，在 $n \leq f \leq n^{3/2}$ 的区间，我们表明通过结合我们新的 high-degree、low-diameter 分解与稀疏恢复工具的组合，甚至可以获得 stretch 为 7 的距离查询，空间为 $\widetilde{O}(n^{3/2}f^{1/3})$ 位。我们还表明我们的技术足够通用，可为容错“无意识”稠密子图和容错确定性距离查询在有限删除流中的 randomized sketch 提供空间低于 $nf$ 边界的解决方案。