空间高效的容错直径预言机

我们设计了 $f$-边容错直径预言机（$f$-FDOs）。我们预处理给定的具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图 $G$，以及正整数 $f$，以构造一种数据结构，当以边集 $F$（$|F| \leq f$）查询时，返回 $G-F$ 的直径。对于直径为 $D$ 的未加权有向图中的单故障（$f=1$），Henzinger 等人 [ITCS 2017] 给出了一种近似 FDO，其拉伸因子为 $(1+\varepsilon)$、常数查询时间、空间 $O(m)$，以及组合预处理时间 $\widetilde{O}(mn + n^{1.5} \sqrt{Dm/\varepsilon})$。我们提出了一种针对有向图的 FDO，具有相同的拉伸因子、查询时间和空间，其预处理时间为 $\widetilde{O}(mn + n^2/\varepsilon)$。该预处理时间几乎匹配了 Henzinger 等人给出的针对组合算法的条件下界。利用快速矩阵乘法，我们实现了 $\widetilde{O}(n^{2.5794} + n^2/\varepsilon)$ 的预处理时间。我们进一步证明了信息论下界，表明任何拉伸因子优于 $3/2$ 的 FDO 都需要 $\Omega(m)$ 比特的空间。对于具有非负边权的无向图中的多重故障（$f>1$），我们给出了一种 $f$-FDO，其拉伸因子为 $(f+2)$、查询时间 $O(f^2\log^2{n})$、空间 $\widetilde{O}(fn)$、预处理时间 $\widetilde{O}(fm)$。我们以排除在 $o(fn)$ 空间中任何有限拉伸因子的下界补充了这一点。我们表明，对于具有多对数直径且最多 $f = o(\log n/ \log\log n)$ 次故障的未加权图，可以用近似换取查询时间和空间。我们提出了一种精确组合 $f$-FDO，其预处理时间为 $mn^{1+o(1)}$、查询时间 $n^{o(1)}$、空间 $n^{2+o(1)}$。当改用快速矩阵乘法时，预处理时间可改进为 $n^{\omega+o(1)}$，其中 $\omega < 2.373$ 为矩阵乘法指数。