含顶点失效的平面图精确距离预言机

我们考虑在存在顶点失效情况下的有向带权平面图的精确距离预言机。给定源顶点 u、目标顶点 v 和 k 个失效顶点的集合 X，此类预言机返回避开 X 中所有顶点的 u 到 v 最短路径的长度。我们提出可处理任意数量 k 次失效的预言机。我们展示了空间、查询时间和预处理时间之间的若干权衡。特别地，对于具有 n 个顶点的有向带权平面图和任意常数 k，我们展示了大小为 \tilde{\mathcal{O}}(n)、查询时间为 \tilde{\mathcal{O}}(\sqrt{n}) 的预言机。然后我们提出空间与查询时间的权衡：对于任意 q \in [1,\sqrt n]，我们提出大小为 n^{k+1+o(1)}/q^{2k}、查询时间为 \tilde{\mathcal{O}}(q) 的预言机。对于单顶点失效（k=1），我们的大小为 n^{2+o(1)}/q^2、查询时间为 \tilde{\mathcal{O}}(q) 的预言机，在 q \geq n^t（任意 t \in (0,1/2]）时，相比 Baswana 等人 [SODA 2012] 先前已知的最佳权衡有多项式因子的改进。对于多次失效，此前未知任何利用平面性的结果。本工作的初步版本发表于 SODA 2019。在此版本中，我们展示了改进的空间与查询时间权衡，依赖于最近提出的近乎最优的平面图距离预言机 [Charalampopoulos 等人，STOC 2019；Long 和 Pettie，SODA 2021]。