单点顶点或边失效下的平面可达性

本文针对平面有向图提出了一种高效的单条边或单个顶点失效下的可达性预言机。具体而言,我们证明了平面有向图 $G$ 可在 $O(n\log^2{n}/\log\log{n})$ 时间内完成预处理,生成一个 $O(n\log{n})$ 空间的数据结构,对于任意查询顶点 $u,v$ 以及失效顶点 $x$(失效边 $f$),该结构能在 $O(\log{n})$ 时间内回答在从 $G$ 中移除顶点 $x$(边 $f$)后 $u$ 是否能到达 $v$。据我们所知,这是首个针对平面有向图、具有近最优预处理时间且能在多对数时间内回答任意类型失效下全点对查询的数据结构。我们还考虑了 2-可达性问题,即给定平面有向图 $G$,希望对查询顶点 $u,v$ 判断是否存在从 $u$ 到 $v$ 的两条顶点不相交(边不相交)路径。在此设定下,我们提供了一个近最优的 2-可达性预言机,它是单点失效下可达性预言机的存在性变体,具有以下界限:我们可以在 $O(n\log^{O(1)}{n})$ 时间内构建一个 $O(n\log^{3+o(1)}{n})$ 空间的数据结构,在 $O(\log^{2+o(1)}{n})$ 时间内检查任意查询顶点 $u,v$ 是否满足 $v$ 从 $u$ 出发是 2-可达的,否则找出位于 $G$ 中从 $u$ 到 $v$ 所有路径上的某个分离顶点(边)$x$。为获得上述结果,我们遵循 Thorup 关于平面图可达性[J.~ACM~'04]的一般递归方法,并提出了新的数据结构以推广支配树以及先前的失效下强连通性数据结构[Georgiadis 等人,SODA~'17]。我们的新数据结构也适用于一般有向图,可能具有独立意义。