平面图的连通性预言机

我们考虑平面图的动态子图连通性问题。在此模型中，存在一个固定的底层平面图，其中每条边和每个顶点要么处于“关闭”（故障）状态，要么处于“开启”（恢复）状态。我们希望回答关于“开启”子图的连通性查询。该模型有两种自然变体：一种是在所有连通性查询之前发生 $d$ 次边/顶点故障，另一种是故障/恢复与查询交错进行。我们为平面图提出了一种 $d$-故障连通性预言机，它能在 $sort(d,n)$ 时间内处理任意 $d$ 次边/顶点故障，从而使得连通性查询可以在 $pred(d,n)$ 时间内得到回答。（这里 $sort$ 和 $pred$ 分别表示对大小为 $d$ 的 $[n]$ 子集进行整数排序和整数前驱搜索的时间。）我们的算法包含两个独立的部分。第一部分是专门针对三连通平面图的算法，它利用了 Barnette 定理，该定理指出每个三连通平面图都包含一棵度为 3 的生成树。第二部分是从一般（平面）图到三连通（平面）图的通用归约。此外，我们的算法被证明是最优的。Patrascu 和 Thorup 关于前驱搜索的下界的一个推论是，没有任何 $d$-故障连通性预言机（即使在树上）能够突破 $pred(d,n)$ 的查询时间。我们将算法扩展到子图连通性模型，其中边/顶点故障（但不包括恢复）与连通性查询交错进行。在三连通平面图中，每次故障和查询的处理时间为 $O(\log n)$（均摊），而在一般平面图中，这两个界都变为 $O(\log^2 n)$。