满足连通性要求的稀疏时序图设计

时序图的连通性在图论和 gossip 理论中均受到广泛关注。特别是，已知为连接每个顶点到每个其他顶点，时序图至少需要 $2n-4$ 条边，其中 $n$ 为顶点数。本文研究满足部分连通性要求所需的最优边数。我们引入了 Connectivity Request Satisfaction（连通性请求满足）问题：给定的有向图称为请求图，其中从 $u$ 到 $v$ 的弧表示需要能够从 $u$ 前往 $v$。我们的目标是在相同的顶点集合上构建一条使用尽可能少时序边的时序图，以满足所有请求。当构建的图为有向图时，我们证明所需的时序弧数为 $n-\mathrm{cc}+\mathrm{dfvs}$，其中 $\mathrm{cc}$ 为请求图的连通分量数，$\mathrm{dfvs}$ 为其最小有向反馈顶点集的大小。由此可见，该问题是 NP 完备的，但继承了有向反馈顶点集的固定参数可解性。当构建的图为无向图时，我们给出强连通请求图能以 $n-1$ 条边找到解的判据：当且仅于任意一组两两非顶点互斥的闭合行走全部共享一个公共顶点时，才可能实现。我们证明该判据可在多项式时间内测试。