关于最小时间连通子图的大小与可近似性

我们考虑具有离散时间标签的时间图，并研究最小时间连通生成子图的大小与可近似性。我们提出了一类具有 $n$ 个顶点和 $\Omega(n^2)$ 条边的最小连通时间图，从而解决了 (Kempe, Kleinberg, Kumar, JCSS 64, 2002) 关于稀疏时间连通证书是否存在的开放问题。接下来，我们考虑计算时间边的最小权重子集的问题，该子集保持给定时间图的连通性，要么从给定顶点 r 出发（r-MTC 问题），要么在所有顶点对之间（MTC 问题）。我们表明 r-MTC 的可近似性与有向斯坦纳树的可近似性密切相关，并且如果底层图具有有界树宽，则 r-MTC 可在多项式时间内求解。我们还表明，对于任意常数 $\epsilon > 0$，MTC 的最佳近似比至少为 $O(2^{\log^{1-\epsilon} n})$ 且至多为 $O(\min\{n^{1+\epsilon}, (\Delta M)^{2/3+\epsilon}\})$，其中 $M$ 是时间边的数量，$\Delta$ 是底层图的最大度。此外，我们证明 MTC 的未加权版本是 APX-hard 的，并且 MTC 在树中可高效求解，在环中可 2-近似。