时序连通性最优标号计算的复杂性

如果对于每个顶点$u$到每个其他顶点$v$都存在严格时序路径（即边具有严格递增标号的路径），则图是时序连通的。本文研究无向时序连通图的时序设计问题。这些优化问题的基本设定如下：给定一个连通无向图$G$，我们需要给$G$的边添加的最小时间标号数$|\lambda|$是多少，使得所得的时序图$(G,\lambda)$是时序连通的？事实证明，这个称为最小标号（ML）的基本问题可以在多项式时间内最优求解。然而，利用时序维度，该问题在以下变体中变得更有趣且更有意义，我们在本文中对此进行了研究。首先，我们考虑最小年龄标号（MAL）问题，即在给定所得时序图$(G,\lambda)$允许年龄（即最大标号）上界的情况下时序连通图。其次，我们考虑最小斯坦纳标号（MSL）问题，其目标现在是在属于子集$R\subseteq V$的任何一对“终端”顶点之间存在时序路径。这个松弛问题类似于静态图中的斯坦纳树。然而，由于时序路径中要求严格递增的标号，斯坦纳树并非MSL的特例。最后我们考虑MSL的年龄受限版本，即最小年龄斯坦纳标号（MASL）。我们的主要结果有三方面：我们证明（i）MAL在无向图上变为NP完全，而（ii）MASL关于终端数$|R|$变为W[1]困难。另一方面我们证明（iii）尽管无年龄限制的问题MSL是NP难的，但关于终端数$|R|$属于FPT。也就是说，加上年龄限制使上述问题严格更难。